By A.K. Boiarchuk ; traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko y Guillermo Peña Feria ; revisión científica de Jairo Correa Rodríguez.

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Teorema (de Weierstrass). Toda función entera f con un conjunto infinito de ceros, donde z ~ 0 es un cero de orden X, (a n ) es ta sucesión de Jos demás ceros y lim an = oo, se puede representar mediante un 11—'QO producto infinito m = zxeh{z) n 1 71=1 x exp \an 2 \an + ... + (5) Pn --tilili r-ci: donde h es cieña función entera y los números pn se eligen de tal manera que la serie (2) converja. Demostración. Como la función z lP{z) es entera y sus ceros coinciden con los de la función /, la función — también es entera (se considera que sus puntos singulares evitables han sido evitados) y no tiene ceros en el plano C.

Tomando en consideración las igualdades i f no „ 7rt y ín+1 ^ ^ ^ no ^ cn+1 ~ ^ /(0<*C C"+1(C - z)' ' gu = — z ~ kn Sean ym las fronteras de ios cuadrados con centros en el origen de coordenadas y lados de longitud (2ra + l)7r paralelos a los ejes de coordenadas. Estimemos por separado el valor de ctg z en: 1) los lados paralelos al eje imaginario; 2) los lados paralelos al eje real. Tenemos: 1) z = ±{2m + \)- + iy, m m e2iz +1 _ I Ctg z\ = 2iz e —1 e±í(2m+l)3re-2y + e±j(2m+l)Te-2y 1 - e"Zy ^ _ i < i.

Como lim = 1 (esto A-» 00 se deduce de la convergencia de la serie (1)), entonces P es una función analítica en el círculo K = {z £ C \z\ < 1} y se anula solamente en los puntos z\, z2,.... Estimemos el módulo de un factor arbitrario del pro- ¿n - z ducto infinito (2) para \z\ < 1: —z„ < \zn\ < 1. Por 1 -zzn consiguiente, \P(z)\ < 1 Vz £ K. • < < Wa i > * * < > 5»>S<-x< > J ¡ < > «: n . M j ¡ a¿< v e a w t < S J . " « » * t^ i>^ ^f í >* ®4 ^**/ x\* 1•»í *^ v >, s / v ^ ^ • í - ' ' .

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