By JERROLD E. MARSDEN

RESUMEN:
Este es un libro de gran flexibilidad, diseñado para adaptarse tanto a las necesidades de las carreras de ingeniería como a las de física y matemáticas. Los autores se propusieron en especial desarrollar en el estudiante una comprensión intuitiva de l. a. materia e hicieron un texto autocontenido que puede seguirse, incluso, de forma autodidacta. l. a. obra contiene una gran cantidad de ejemplos, ejercicios y aplicaciones, con respuestas de ejercicios impares.

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L Otra ilustración del uso de la compacidad está dada por el siguiente lema, el cual establece que la distancia de un conjunto compacto a un conjunto cerrado es positiva. Esto es, debe haber un espacio entre los dos conjuntos. Lema de la distancia. 21. Suponga que K es compacto, Ces cerrado y K n C = 0. Entonces, la distancia d(K, C) de Ka C es mayor que O. Esto es, existe un número p > O tal que lz - wl > p siempre y cuando z esté en k y w esté en C. Demostración. El complemento de C, U= C\C, es un abierto, y K C U, por lo que cada punto zen K es el centro de algún disco D(z; p(z)) C U.

6). 6. Efecto de la función elevar al cuadrado en un círculo de radio r. 2). Notemos que una línea y = constante, descrita por los puntos x + iy conforme x varía, son mapeados por la función z � e z en puntos e xeiY, que es un rayo con argumento y. 7). Simílar­ mente, la línea vertical x = constante es mapeada en un círculo de radio e x . Si restringimos y a un intervalo de longitud 21t, el círculo imagen es descrito una vez, pero si no se restringe y, el círculo imagen es descrito un número infinito de veces conforme y varía de -oo a +oo.

Enseguida vamos a transcribir la noción de límite a la notación de números complejos. 2. Sea f definida en un conjunto que contiene alguna r-vecindad agujerada de z0 • La expresión lím f(z) = a Z ..... z0 significa que para cada E > O, existe una 6 > O tal que z e D(z 0; r), z ::;i< z 0, y lz - z 01 < o implica que lf(z) - al < E. La expresión en esta definición tiene el mismo significado intuitivo que el que tiene en cálculo, a saber,f(z) está cerca de a cuando z está cerca de �o· No es nece­ sario definir f sobre toda la vecindad agujerada para tener una teoría de límites válida, pero se usan aquí las vecindades agujeradas por motivo de simplicidad y también porque tal tratamiento será más apropiado a lo largo del texto.

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